Myk stadium
Kai's instructions for soft Bunimovich stadium (in Norwegian, 30 may 1995)
Jeg foreslo for en tid tilbake for Predrag at man kunne kigge paa
et mykt-stadium system. Jeg gjorde enkelte nummeriske eksperimenter
og fant ut at man kunne antagelig forstaa mesteparten av strukturen
i et mykt stadium ved at sammenlikne mangfoldighedene i stadium-billiard
med mangfoldigheden i mykt-stadium. Jeg har ikke gjort mer med det
senere, og har ikke helt klart for meg hva man boer gjoere i detalj,
men jeg kan si litt om hvordan man kan definere systemet og begynne aa
gjoere enkelte nummeriske eksperimenter. Hvis dere jobber videre med
det kan dere jo sende meg resultatene dere faar saa skal jeg forsoeke
aa komme med kommentarer og forslag til videre arbeid. Jeg kommer
ogsaa en tur til Kobenhavn ca 6-7 juni og maaske en dag ca en uke senere.
Det jeg mener med et mykt stadium er at man erstatter de haarde
veggene i stadium med et potensial som stiger langsom opp. F.eks.
kan man velge et polynom: f(x)=abs(x)**a. Naar a er et stort tall
saa er f(x) svaert liten for x<1 og stor naar x>1. Vi kan da velge
et system slik at x=1 langs en kurve som er identisk med veggen
for stadium billiard. Vi faar da for den normale tillukkede stadium:
V(x,y)= | f(y) if -rr
hvor r er halvlengden av den rette linjen i stadium. Dette potensialet
er kontinuerlig og ogsaa den foerse deriverte er kontinuerlig i (x,y).
En bane kan vi da finde ved aa integrere systemet, f.eks. med
Bulirsch-Stoer metoden med Stoermers regel eller modifisert midtpunkt regel,
Se Numerical Recipes, Second Edition.
(bedre enn Runge Kutta).
Saa haaper vi at alle, eller i alle fall de fleste forgreningene
(bifurcations) i dette systemet er et resultat av at V(x,y) ikke
er analytisk paa linjene x=r, x=-r. Dette er ikke helt sikkert fordi
en fokuserende del av et glatt potential kan gi ogsaa andre typer
forgreninger, men som utgangspunkt ser vi bort fra det. Det er ihvertfall
en god tilnaermelse for en stor verdi av parameteren a.
Den enkleste maaten aa fortsette naa er aa tegne mangfoldigheter i et
passende Poincare plan, f.eks. planet x=+-r eller y=0. Den enkleste
mangfoldigheten aa finne er den ustabile mangfoldigheten for den ustabile
banen langs x-aksen. Start en bane med p_y=0, og y=epsilon der epsilon
er svaert liten (10^-9), foelg denne banen og naar du har et punkt i
poincar planet f.eks. y omkring 10^-4 kall dette punktet (y',p_y');
integrer videre slik at du finner neste punkt i poincare planer
(y'',p_y''). Trekk saa en linje mellom disse to punkter og
integrer 100 (eller 1000 eller 10000 eller 100000 eller...) punkter
paa denne linjen noen ganger og tegn hver gang punktet i poincar'e
planet. Da faar man et billede av den ustabile mangfoldigheten. Man
maa ogsaa gjoere tilsvarende bakover i tiden for aa finne den stabile
(i et smart poincare plan er den stabile og ustabile ganske enkelt
bare refleksjoner av hverandre). Saa kigger man paa hvor den stabile
og ustabile mangfoldigheten tangerer hverandre og sammenlikner med
et tilsvarende billede for mangfoldighetene i stadium billiard systemet.
Hvis man er heldig kan man naa se at man har omtrent det samme billedet.
For billiard systemet knekker mangfoldighetene langs en linje i planet,
mens for det glatte systemet er det en linje av tangeringspunkter
paa ontrent samme sted. Vi kaller da disse tangerings punktene de
primaere vendepunktene (turning points). Vi trekker en linje mellom
alle disse vendepunktene og sier at dette er delingslinjen mellom
to symboler og symbolene paa hver side er de samme som de vi har
for billiard systemet. Hver gang vi nu finner et punkt i Poincar'e
planet kan vi give dette punkt et symbol og vi finner saaledes en
symbol beskrivelse av en lang bane. En beskjaering front (pruning
front) kan vi naa bestemme ved aa velge tangent punktene som start
punkter aa iterere forover og bakover i tiden og tegne den symbolske
verdien (gamma,delta) i et plan paa samme maade som for stadium billiard.
Periodiske bane kan man (tror jeg) finne ved aa benytte metoden med
aa soeke fram baner ved aa sammenligne den symbolske verdien med den
for en periodisk bane, se preprint; K. Hansen, A new method to find
periodic orbits..., staar paa kaos rommet.
Et problem som vil oppstaa er at de primaere vendepunktene ikke ligger
paa en sammenhangende linje, men er en fraktal mengde punkter. I foerste
omgang kan man ignorere dette. For aa bestemme vendepunktene noeyaktig
kan man finne krumningen ved hjelp av tre punkter paa mangfoldigheten
og finne punktet med stoerst krummning, deretter integrere til neste
Poincar'e plan, finne maksimal krommning her (naer det forrige) og repetere
dette intil punktet er tilstrekkelig noeyaktig bestemt.
Man kan naturligvis gjoere mer ogsaa, men maaske er allerede dette
ganske mye arbeid. Det jeg definerte haer var en lukket stadium.
Man kan ogsaa definere det som et vaskebrett system; f.eks. la V(x,y)
vaere =0 for abs(x) mindre en r, men jeg har ikke tenkt noe mer over
et slikt system. Hvis noe (eller alt) her var uklart, kan dere
sende en mail. Send gjerne en mail hvis alt var klart ogsaa.
Kai
30 may 1995 Kai T. Hansen,
kaith@phyc1.physik.uni-freiburg.de